Question

已知函数f（x）=x|x2-3|，x∈[0，m]，其中m∈R，且m＞0 （1）若m＜1，求证：函数f（x）是增函数； （2）如

已知函数f（x）=x|x2-3|，x∈[0，m]，其中m∈R，且m＞0
（1）若m＜1，求证：函数f（x）是增函数；
（2）如果函数f（x）的值域是[0，2]，试求m的取值范围．
（3）如果函数f（x）的值域是[0，λm2]，试求实数λ的最小值．

Answer 1

(1)、解：若m＜1，则x<1
f(x)=x(3-x^2)=3x-x^3, f(x)'=3-3x^2=3(1-x^2), 此时1-x^2>0, f(x)'>0
所以m<1时，函数f(x)是增函数
(2)、解：f(x)=x|x^2-3|
当0＜x＜√3时，f(x)=x(3-x^2)=3x-x^3, f(x)'=3-3x^2=3(1-x^2)
可得知：
x在[0，1]时，f(x)'≥0,函数单调递增，在这个区间，函数的最小值是f(0)=0, 最大值是f(1)=2
x在[1,√3]时，f(x)'≤0,函数单调递减，在这个区间，函数的最大值是f(1)=2,最小值是f(√3)=0
当x≥√3时，f(x)=x(x^2-3)=x^3-3x, f(x)'=3x^2-3=3(x^2-1)
可得知：
x在[√3,∞)时，f(x)'≥0，函数单调递增，在这个区间，函数的最小值是f(√3)=0, 最大值是正无穷。
在这个区间内：f(2)=2
这个函数的图像你也就心中有数了，即在区间[0,,2]上函数的最大值是2，第一个最大值在f(1)处取得，第二个最大值在f(2)处取得。值域是[0，2]
那么因为，x∈[0，m]，m是x的取值范围内的最大值，可求得：1≤m≤2时，函数的值域是[0,2]
即m的取值范围是：1≤m≤2
(3)、在不同的区间内，函数的最大值不同，值域也不同，分三种情况：
当0<m<1，则f(x)max=f(m)=m(3-m^2)=λm^2，得：λ=3/m-m,λ是关于m的函数，λ(m)'= -3/m2-1<0
单调递减，则：λmin=λ(1)=2
当1≤m≤2，f(x)max=f(1)=2=λm^2，得：λ=2/m^2，则：λmin=λ(2)=1/2
当m>2，则f(x)max=f(m)=m(m^-3)=λm^2，得：λ=m-3/m，λ(m)'=1+3/m2>0，单调递增，
则：λmin=λ(2)=7/4

其实你只要理清了函数在不同区间的函数表达式和单调区间后，也就是函数的大致图象走向，也就明白这个题了，过程我是想给你写详细些，让你看明白，题并不难。
不懂就问，懂了给ge满意^^^

Answer 2

(1)、解：若m＜1，则x<1
f(x)=x(3-x^2)=3x-x^3, f(x)'=3-3x^2=3(1-x^2), 此时1-x^2>0, f(x)'>0
所以m<1时，函数f(x)是增函数
(2)、解：f(x)=x|x^2-3|
当0＜x＜√3时，f(x)=x(3-x^2)=3x-x^3, f(x)'=3-3x^2=3(1-x^2)
可得知：
x在[0，1]时，f(x)'≥0,函数单调递增，在这个区间，函数的最小值是f(0)=0, 最大值是f(1)=2
x在[1,√3]时，f(x)'≤0,函数单调递减，在这个区间，函数的最小值是f(1)=2,最大值是f(√3)=0
当x≥√3时，f(x)=x(x^2-3)=x^3-3x, f(x)'=3x^2-3=3(x^2-1)
可得知：
x在[√3,∞)时，f(x)'≥0，函数单调递增，在这个区间，函数的最小值是f(√3)=0, 最大值是正无穷。
在这个区间内：f(2)=2
这个函数的图像你也就心中有数了，即在区间[0,,2]上函数的最大值是2，第一个最大值在f(1)处取得，第二个最大值在f(2)处取得。值域是[0，2]
那么因为，x∈[0，m]，m是x的取值范围内的最大值，可求得：1≤m≤2时，函数的值域是[0,2]
即m的取值范围是：1≤m≤2

不懂就问....^^
其实你只要理清了函数在不同区间的函数表达式和单调区间后，也就是函数的大致图象走向，也就明白这个题了，过程我是想给你写详细些，让你看明白，题并不难。

Answer 3

1,由题意知道x^2-3<0,1-x^2>0,f(x)=x*(3-x^2),f(x)'=3(1-x^2)>0单增
2,对m进行0<m<根号3,m>根号3讨论,知道f(x)在(0,1)上及(根号3,正无穷)上单增,(1,根号3)上单减,且
f(0)=f(根号3）=0，f（1）=2，所以1《m《2.
3，若0<m<1,有λm2=f（m）=m（3-m2）所以λ=3/m-m,λ(m)'=-3/m2-1<0单减，λmin=λ（1）=2
若1<m<2,λm2=2,λ=2/m2所以λmin=λ（2）=1/2
若m>2,有λm2=f（m）=m（m2-3）所以λ=m-3/m,λ(m)'=1+3/m2>0单增，λmin=λ（2）=1/2
综上所述λmin=1/2

Answer 4

已知函数f（x）=x|x2-3|，x∈[0，m]，其中m∈R，且m＞0
（1）若m＜1，求证：函数f（x）是增函数；
（2）如果函数f（x）的值域是[0，2]，试求m的取值范围．
（3）如果函数f（x）的值域是[0，λm2]，试求实数λ的最小值．
(1)解析：∵函数f（x）=x|x^2-3|，x∈[0，m]，其中m∈R，且m＞0
将函数写成分段函数：
当0<=x<=√3时，f(x)=x(3-x^2)=3x-x^3
当x>=√3时，f(x)=x(x^2-3)=x^3-3x
∵x∈[0，m]，其中0<m<1
f(x)=3x-x^3==>令f’(x)=3-3x^2=0==>x=1
f’’(x)=-6x==> f’’(1)<0
∴函数f(x)在x=1处取极大值
∴当x∈[0,m]时，f(x)单调增；
(2)解析：∵0<=f(x)<=2
由(1)知函数f(x)在x=1处取极大值f(1)=2
∴当x∈[0, √3]时，0<=f(x)<=2
当x>=√3时，f(x)=x(x^2-3)=x^3-3x
∴f’(x)=3x^2-3>0，f(x)单调增；
3x^2-3=2==>x=√15/3
∴m的取值范围为1<=m<=√15/3
(3)解析：∵0<=f(x)<= λm^2
当0<m<1时，0<=f(x)=3x-x^3<=λx^2==>λ>=3/x-x，λ最小为2
当1<=m<=√15/3时，λm^2=2，m^2最大时为5/3==>λ>=2/(5/3)，λ最小为6/5
当m>√15/3时, f(x)=x^3-3x<=λx^2==>λ>=3-3/x
当x→+∞时，λ的极限为3
∴实数λ的最小值为6/5

Answer 5

因为f（x）=x|x2-3|，所以
x^3-3x(x≥根号3或x≤-根号3）
f（x）=x|x2-3|={-x^3+3x（-根号3≤x≤根号3）
1.证明：如m＜1，那么x∈[0，m]时，f（x）=-x^3+3x，∵f'（x）=-3x²+3在x∈[0，m]时，f'（x）＞0，所以函数f（x）是增函数。
2.