Question

已知a＞0且a≠1,f(logax)=[a/(a²-1)]×(x-(1/x))

求f(x)的表达式
判断f(x)的奇偶性和单调性
当f(x)为（-1，1）时，如果f(1-m)＋f(1-3m)＜0,求m的取值范围

Answer 1

(1) 设t=log(a)x，则 x=a^t，所以
f(t)=[a/(a²-1)]×[a^t-a^(-t)]
即 f(x)=[a/(a²-1)]×[a^x-a^(-x)]
(2)f(-x)=[a/(a²-1)]×[a^(-x)-a^x]=-f(x)，从而 f(x)是奇函数。
①若 a>1，则a²-1>0，而y=a^x -a^(-x)为增函数，从而 f(x)是增函数；
②若0<a<1，则a²-1<0，而y=a^x -a^(-x)为减函数，所以 f(x)还是增函数。
(3)
由f(1-m)＋f(1-3m)＜0，得
f(1-m)<f(3m-1)
即 -1<1-m<1
-1<3m-1<1
1-m<3m-1
解得 1/2<m<3/2