Question

证明：对于任意的正整数n＞1，不等式1+1／2+1／3+····＋1／n－1＞㏑n+1／2都成立。

Answer 1

证明：
当n=2时
　∵ln((1+2)/2)=ln(3/2)<lne=1
　∴不等式成立
假设n=k+1（k>1）不等式成立
　∴ln((k+2)/2)<1/1+1/2+……+1/k
　∴(k+2)/2<e^(1+1/2+1/3+……+1/k)
当n=k+2时
　不等式左边=e^(1+1/2+1/3+……+1/k)*e^[1/(k+1)]
　不等式右边=㏑(k+3)/2=㏑(k+3)/2*[(k+3)/(k+2)]
　∵e=lim(1+1/n)^n (n→∞)=[(n+1)/n]^n(n→∞)
　∴e≥[(k+2)/(k+1)]^(k+1) (k∈Z+）
　∴e^[1/(k+1)]≥{[(k+2)/(k+1)]^(k+1)}^[1/(k+1)]=(k+2)/(k+1=1+1/(k+1)>1+1/(k+2)=(k+3)/(k+2)
　∴当n=k+2（k>1）时，(k+3)/2<e^[1+1/2+1/3+……+1/k+1/(k+1)]
　　两边取自然对数得：ln((k+3)/2)<1/1+1/2+……+1/k+1/(k+1)
　∴当n=k+2（k>1）时，不等式成立
　∴对于任意的正整数n>1，不等式1+1/2+1/3+····＋1/n－1＞㏑n+1/2都成立

追问

数学归纳法。。。 太多了。。。 不过还是谢谢了。

追答

这个只能用这个证明吧

Answer 2

首先声明该题是错题 因为当n＝2时，不等式1＞In2＋1/2不成立 不过我提供解决该问题的一种方法 当n＝2时，假设不等式1＞In2＋1/2…………《1》 令G(n)＝1/n－In(n＋1)＋Inn 求导可得G(n)＞0恒成立 即1/n＞In(n＋1)－Inn在n为正整数上恒成立 故1/2＞In3－In2 1/3＞In4－In3 1/4＞In5－In4 ………… 1/(n－1)＞Inn－In(n－1) 由上面n－2项累加可得： 1/2＋1/3＋1/4＋……＋In(n－1)＞ Inn－In2…………《2》 由《1》《2》可得： 1＋1/2＋1/3＋1/4＋……＋1/(n－1)＞ (In2＋1/2)＋1/2＋1/3＋1/4＋……＋1/(n－1)＞Inn＋1/2 即不等式得证