Question

点P是△ABC内一点，PG是BC的垂直平分线，∠PBC= ∠A，BP、CP的延长线交AC、 AB于D、E，求证：BE=CD

Answer 1

在CE上或CE的延长线上取一点F，使得：CF = BD 。

已知，PG是BC垂直平分线，可得：PB = PC ，则有：∠PCB = ∠PBC = (1/2)∠A 。

在△CBF和△BCD中，CF = BD ，∠BCF = ∠CBD ，BC为公共边，
所以，△CBF ≌ △BCD ，可得：BF = CD ，∠CBF = ∠BCD ，∠CFB = ∠BDC 。

① 若点F在CE上，则有：
∠BFE = ∠CBF+∠PCB = ∠BCD+∠PCB = ∠ACE+2∠PCB = ∠ACE+∠A = ∠BEF ；
可得：BE = BF = CD ；
② 若点F在CE的延长线上，则有：
∠BFE = ∠BDC = ∠ABD+∠A = ∠ABD+∠PBC+∠PCB = ∠ABC+∠PCB = ∠AEC = ∠BEF ；
可得：BE = BF = CD ；
③ 若点F和点E重合，
可得：BE = BF = CD ；

综上可得：BE = CD 。

Answer 2

证明：作BF⊥CE于F点，CM⊥BD于M点 则∠PFB=∠PMC=90°． ∵PG是BC的垂直平分线，∴PB=PC． 又∠BPF=∠CPM， ∴Rt△PBF≌Rt△PCM， ∴BF=CM； ∵PB=PC， ∴∠PBC=∠PCB=1 2 ∠BPE． ∵∠PBC=1 2 ∠A， ∴∠A=∠BPE． ∴∠EPD ∠BPE=∠EPD ∠A=180°， ∴∠AEP ∠ADP=180°． 又∠AEP=∠BEF，∠ADP ∠CDM=180° ， ∴∠BEF=∠CDM． ∴Rt△BEF≌Rt△CDM． ∴BE=CD．

Answer 3

先在CE上或CE的延长线上取一点F，使得：CF = BD 。

已知，PG是BC垂直平分线，可得：PB = PC ，则有：∠PCB = ∠PBC = (1/2)∠A 。

在△CBF和△BCD中，CF = BD ，∠BCF = ∠CBD ，BC为公共边，
所以，△CBF ≌ △BCD ，可得：BF = CD ，∠CBF = ∠BCD ，∠CFB = ∠BDC 。

① 若点F在CE上，则有：
∠BFE = ∠CBF+∠PCB = ∠BCD+∠PCB = ∠ACE+2∠PCB = ∠ACE+∠A = ∠BEF ；
可得：BE = BF = CD ；
② 若点F在CE的延长线上，则有：
∠BFE = ∠BDC = ∠ABD+∠A = ∠ABD+∠PBC+∠PCB = ∠ABC+∠PCB = ∠AEC = ∠BEF ；
可得：BE = BF = CD ；
③ 若点F和点E重合，
可得：BE = BF = CD ；

综上可得：BE = CD

Answer 4

如果知道EP=DP或者∠EBP=∠DCP或∠BEP=∠CDP就好证了

Answer 5

先在CE上或CE的延长线上取一点F，使得：CF = BD 。

已知，PG是BC垂直平分线，可得：PB = PC ，则有：∠PCB = ∠PBC = (1/2)∠A 。

在△CBF和△BCD中，CF = BD ，∠BCF = ∠CBD ，BC为公共边，
所以，△CBF ≌ △BCD ，可得：BF = CD ，∠CBF = ∠BCD ，∠CFB = ∠BDC 。

① 若点F在CE上，则有：
∠BFE = ∠CBF+∠PCB = ∠BCD+∠PCB = ∠ACE+2∠PCB = ∠ACE+∠A = ∠BEF ；
可得：BE = BF = CD ；
② 若点F在CE的延长线上，则有：
∠BFE = ∠BDC = ∠ABD+∠A = ∠ABD+∠PBC+∠PCB = ∠ABC+∠PCB = ∠AEC = ∠BEF ；
可得：BE = BF = CD ；
③ 若点F和点E重合，
可得：BE = BF = CD ；

综上可得：BE = CD 。