Question

求高数不定积分 计算 谢谢

求思路，如何转化？给我相关公式也行……

Answer 1

∫√(5-2x+x²)dx=∫√[2²+(x-1)²]dx=2∫√{1+[(x-1)/2]²}dx【令(x-1)/2=tanu，则x=2tanu+1，dx=2sec²udu】
=4∫sec³udu=4∫secud(tanu)=4[secutanu-∫tanud(secu)]
=4[secutanu-∫tan²usecudu]=4[secutanu-∫(sec²u-1)secudu]
=4[secutanu-∫sec³udu+∫secudu]
移项得8∫sec³udu=4[secutanu+∫secudu]=4[secutanu+ln(secu+tanu)]+2C₁
故∫√(5-2x+x²)dx=4∫sec³udu=2[secutanu+ln(secu+tanu)]+C₁
=2{[(x-1)/4]√(5-2x+x²)]+ln[(1/2)√(5-2x+x²)+(x-1)/2]}+C₁
=[(x-1)/2]]√(5-2x+x²)+2ln[√(5-2x+x²)+(x-1)]-ln2+C₁
=[(x-1)/2]]√(5-2x+x²)+2ln[√(5-2x+x²)+(x-1)]+C

追问

这个是每次都要这么计算，还是类似的有什么规律？

∫√(x²+b²)dx=(x/2)√(x²+b²)+(b/2)ln[x+√(x²+b²)]

这样子??

追答

∫√(x²+b²)dx=(x/2)√(x²+b²)+(b²/2)ln[x+√(x²+b²)]【注意你写掉一个平方，你仔细看，我已补上。】
这是一个公式，如果你能记住，可直接用；如果记不住，那就只好把方法记住，一步步地推演。
上面那个定积分＝10+(9/2)ln9-(9/2)ln3=10+(9/2)ln3.

Answer 2

令x-1=2tant
或直接查高数积分表被积函数型为根号下（a^2+x^2)