Question

为什么（1+x^2）的1/3次方-1和（x^2）/3是等价无穷小？

Answer 1

不知道能否使用 《基本极限》 作依据。若可以，则可以进行以下推理：

令 x²=u
则 由基本极限 lim 《u->0》[(1+u)^(1/3)-1]/u=1/3 【原公式 lim[(1+x)^n-1]/x=n 】
∴ lim[(1+x²)^(1/3)-1]/(x²/3)=lim3{[(1+u)^(1/3)-1]/u}=3lim[。。。]=3*(1/3)=1
即 两个无穷小的比值是一个常数
∴两个无穷小为等价无穷小。

追问

可不可以把省略的打出来

追答

就是它前面的个式子，把 3 移到 “ lim ”符号外了。

。。。=3lim[(1+u)^(1/3)-1]/u=3*(1/3)=1 【整个的 lim 已经由上一行证明了，等于 1/3 】

追问

lim[(1+x)^n-1]/x=n
这是一个公式？可以证明一下吗？

Answer 2

因为x的最高次项指数都是2/3

追问

（x^2）/3的指数也是2/3?

追答

（x^2）1/3的指数是2/3

追问

我怎么看不出来？x的平方是分子，3是分母。

追答

有公式(x^m)^n=x^(mn)

追问

x^2是分子，3是分母。你错了

追答

(x^2）1/3=x(2*1/3)=x^(2/3)
你想的思路不对,把2和1/3看成整体就明白了.

追问

1/3不是指数，是x*x除以3.