Question

求y''=1-(y')^2,的通解及满足当x=0时y=0,y'=0的特解

特解的答案是y=x

Answer 1

设p=y'
则dp/dt=1-p^2
分离变量
dp/(p^2-1)=-dt
两边积分
(1/2)ln|(p-1)/(p+1)|=-t+C'
所以(p-1)/(p+1)=C1e^(-2t)
化简得
p=(e^(2x)+C1)/(e^(2x)-C1)
即y'=(e^(2x)+C1)/(e^(2x)-C1)
令t=e^(2x)-C1
则x=(1/2)ln(t+C1)
所以
y=∫(t+2C1)/t * (1/2)/(t+C1)dt
=(1/2)∫[(2/t) - 1/(t+C1)]dt
=(1/2)(2lnt - ln(t+C1)) + C2
=lnt - (1/2)ln(t+C1) + C2
=ln(e^(2x)-C1) - x + C2
因为x=0时y'=0
所以0=e^(2*0)+C1
C1=-1
因为x=0时y=0
ln(e^(2*0)-(-1)) - 0 + C2=0

C2=-ln2
所以y=ln(e^(2x)+1) - x - ln2

ps:
y=x时y'=1,不合题意

追问

不好意思、、题写错了、是当x=0时，y'=1能在给我写一下吗？谢谢谢谢谢了、、、、

追答

因为x=0时y'=1
所以1=e^(2*0)+C1
C1=0
因为x=0时y=0
ln(e^(2*0)-0) - 0 + C2=0

C2=0
所以y=ln(e^(2x)) - x =x

追问

怎么不合题意啊、、y'恒等于一

追答

。。。题目改完就没错了

追问

嗯嗯、、真谢谢啦、、