求广义积分。
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解：分享一种解法。
设I=∫(0,∞)x²dx/(1+x^4)。再设x=1/t，∴I=∫(0,∞)dt/(1+t^4)。与未换元前的I相加，
∴2I=∫(0,∞)(1+x²)dx/(1+x^4)=∫(0,∞)(1+1/x²)dx/(x²+1/x²)=∫(0,∞)d(x-1/x)/[(x-1/x)²+2]。
∴2I=(√2/2)arctan[(√2/2)(x-1/x)]丨(x=0,∞)=(√2/2)π。∴原式=(√2/4)π。
【另外，亦可设t=x^4/(1+x^4)，转化成贝塔函数求解。原式=(1/4)∫(0,1)[t^(-1/4)](1-t)^(-3/4)dt=B(3/4,1/4)=(1/4)π/sin(π/4)=(√2/4)π】供参考。
设I=∫(0,∞)x²dx/(1+x^4)。再设x=1/t，∴I=∫(0,∞)dt/(1+t^4)。与未换元前的I相加，
∴2I=∫(0,∞)(1+x²)dx/(1+x^4)=∫(0,∞)(1+1/x²)dx/(x²+1/x²)=∫(0,∞)d(x-1/x)/[(x-1/x)²+2]。
∴2I=(√2/2)arctan[(√2/2)(x-1/x)]丨(x=0,∞)=(√2/2)π。∴原式=(√2/4)π。
【另外，亦可设t=x^4/(1+x^4)，转化成贝塔函数求解。原式=(1/4)∫(0,1)[t^(-1/4)](1-t)^(-3/4)dt=B(3/4,1/4)=(1/4)π/sin(π/4)=(√2/4)π】供参考。
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