Question

如图，在等边△ABC中，AE=CD，AD，BE相交于P 点， BQ⊥AD于Q。1.求证：BP=2PQ 2.连PC，若BP⊥PC，求AP/PQ

不要复制的。谢谢。

Answer 1

△ABC为等边三角形，因此AB = AC，∠BAE = ∠ACD = 60°。
又AE = CD，所以△ABE全等于△ACD。所以∠ABE = ∠CAD。
△ABE与△AEP中，∠AEB = ∠AEB，∠ABE = ∠CAD，所以△ABE相似于△APE，所以∠APE = ∠BAE = 60°。
所以∠BPQ = ∠APE = 60°。而△BPQ又是直角三角形，因此可知BP = 2PQ。

BP⊥CP，即CP⊥BE。
△ABD与△BCE易证全等，而CP、BQ分别是其对应边的高，因此CP = BQ。
因此△BCP为等腰直角三角形。∠CBE = 45°。所以∠BAD = ∠CBE = 45°。
因此AP:PQ = (√3 - 1):√3 = (3 - √3):3

追问

第二问呢？

Answer 2

证明：∵AE=CD，AC=BC（△ABC为等边三角形）
∴EC=BD
∵∠BCE=∠ABD=60°，AB=BC
∴△BEC≌△ADB（SAS）
∴∠EBC=∠BAD
∵∠ABE+∠EBC=60°
∴∠ABE+∠BAD=60°
∴∠BPQ=∠ABE+∠BAD=60°
又∵BQ⊥AD
∴∠PBQ=30°
∴BP=2PQ

在Rt△ABQ与Rt△BCP 中
∵∠EBC=∠BAD
∠AQB=∠BPC=90°
AB=BC
∴Rt△ABQ≌Rt△BCP
∴BP=AQ
∵BP=2PQ
∴PQ=AP
∴AP/PQ=1

Answer 3

三角ADC＝三角BEA，故角ABE＝角CAD，故角BED＝60度，故BP=2PQ