Question

已知直线y=-1/2x+2与x轴，y轴分别交于点A,C，抛物线y=-1/2x²+bx+c过点A,C

已知直线y=-1/2x+2与x轴，y轴分别交于点A,C，抛物线y=-1/2x²+bx+c过点A,C,且与x轴交于另一点B,在第一象限的抛物线上任取一点D分别连接CD,AD,作DE⊥AC于点E。1求抛物线的表达式2求△ACD面积最大值3若△CED与△COB相似求点D的坐标

Answer 1

(2)过D作DF⊥x轴，垂足是F
由已知设D(m，n)且m>0， n>0
∵DF⊥x轴
∴OF=m，DF=n
则S四AOCD=(1/2)•(CO+DF)•OF + (1/2)•DF•AF
=(1/2)•(2+n)•m + (1/2)•n•(4-m)
=m + mn/2 + 2n - mn/2=m + 2n
∵S△AOC=(1/2)•AO•CO=(1/2)•4•2=4
∴S△ACD=S四AOCD - S△AOC=m + 2n - 4
∵点D在抛物线上
∴n=(-1/2)m² + (3/2)m + 2
则2n=-m² + 3m + 4
∴S△ACD=m - m² + 3m + 4 - 4
=-m²+4m=-(m-2)² + 4
∵m>0
∴S△ACD的最大值是4

追答

(3)令(-1/2)x² + (3/2)x + 2=0
解得：x=-1或x=4
∴点B为(-1，0)
则BO=1，AB=5
∵在Rt△COB中：BO=1，CO=2
∴BC²=BO²+CO²=5
同理在Rt△AOC中：AC²=AO² + CO²=20
∴BC²+AC²=5+20=25=AB²
则△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形
∵∠ACB=∠BCO+∠ACO=90º且 ∠ACO+∠OAC=90º
∴∠BCO=∠OAC
∵CE⊥AC，CO⊥BO
∴∠CED=∠BOC=90º
∵△CED∽△BOC
∴①当∠DCE=∠BCO时：
则∠DCE=∠OAC
∴CD∥OA
∵点O和A都在x轴上
∴yD=yC=2
∵点D在抛物线上
∴2=(-1/2)x² + (3/2)x + 2
解得：x=0或x=3
当x=0时，点D与点C重合，舍去
∴D(3，2)

②当∠DCE=∠CBO时：
∵∠CBO=∠ACO
∴∠DCE=∠ACO
则△DCE∽△ACO
将△AOC沿直线AC翻折得△ACG
∴△DCE∽△ACG
过G作MN平行且等于AO，交y轴与点M，连结AN
∵MN∥AO
∴∠NMO=∠MNA=∠AOC=90º
∵△AOC≌△AGC
∴AO=AG=4，OC=GC=2
设MG=t，则GN=MN-MG=4-t
∵∠AGC=90º
∴∠CGM+∠AGN=90º
∵∠CGM+∠GCM=90º
∴∠AGN=∠GCM
∵∠GMC=∠ANG=90º
∴△GMC∽△ANG
∴MG/NA=GC/AG
则MG/NA=2/4=1/2
∴NA=2MG=2t
∵NA=MO=MC+CO=MC+2
∴MC=2t - 2
则在Rt△GMC中：MG²+MC²=GC²
t² + (2t-2)²=2²
解得：t=0(舍)或t=8/5
∴MG=8/5，MO=NA=2MG=16/5
即：M(8/5，16/5)
设过点C和G的直线为y=kx+b
则2=k•0 + b
16/5=k•(8/5) + b
解得：k=3/4，b=2
即：直线CG为y=(3/4)x + 2
则直线CG与抛物线的交点就是点D
∴两方程联立：(3/4)x + 2=(-1/2)x² + (3/2)x + 2
解得：x=0(舍)或x=3/2
则y=(3/4)•(3/2) + 2=25/8
∴D(3/2，25/8)

Answer 2

由条件可知A,C两点分别在x和y轴上，
又因为这两点在直线y=1/2x＋2上，
则A(4,0),B(0,2)
又因为A,B两点均在抛物线上，代入可求得抛物线y=-1/2x²＋3/2x+2

Answer 3