Question

已知函数f(x)=log2 1-x/1+x,证明单调性,求不等式f(x)>1的解集

Answer 1

f(x)=log₂(1-x)/(1+x)
(1-x)/(1+x)>0即(x+1)(x-1)<0
解得-1<x<1
函数定义域为(-1,1)
任取-1<x1<x2<1
f(x1)-f(x2)
=log₂[(1-x1)/(1+x1)]-log₂[(1-x2)/(1+x2)]
=log₂[(1-x1)/(1+x1)*(1+x2)/(1-x2)]
=log₂[(1-x1x2+x2-x1)/(1-x1x2+x1-x2)]
∵-1<x1<x2<1 ,x1-x2<0,x2-x1>0
∴1-x1x2+x2-x1>1-x1x2+x1-x2>0
∴(1-x1x2+x2-x1)/(1-x1x2+x1-x2)>1
∴log₂[(1-x1x2+x2-x1)/(1-x1x2+x1-x2)]>0
即f(x1)-f(x2)>0,f(x1)>f(x2)
∴f(x)是(-1,1)上的减函数

2

f(x)>1
即 log₂(1-x)/(1+x) >1
∴(1-x)/(1+x) >2
∴1-x>2x+2
3x<-1
x<-1/3
又-1<x<1
∴-1<x<-1/3

Answer 2

解：f(x)的定义域是：-1<x1,
f(-x)=log2^[(1+x)/(1-x)]=log2^[(1+x)/(1-x)]^(-1)=-log2^[(1-x)/(1+x)]=-f(x)
∴f(x)在（-1,1）上是奇函数。
f(x)>1,即：log2^[(1-x)/(1+x)]=1=log2^2
∴(1-x)/(1+x)>2,解之得：-1<x<-1/3

Answer 3

1-x/1+x解得-1＜x＜1

任取x1 x2 且-1＜x1＜x2＜1
f(x1)-f(x2)=log2(1-x1/1+x1)-log2(1-x2/1+x2)
=log2[(1-x1)^2/(1+x1)(1-x2)]
因为-1＜x1＜x2＜1
所以(1-x1)^2＞0 (1+x1)(1-x2)＞0
所以f(x1)-f(x2)＞0
所以f(x)在定义域内单调递减

1-x/1+x＞1
解得x＜1
｛x|x＜1｝

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