Question

不等式|x-3|－|x+1|≤a²－3a对任意实数x恒成立，实数a的取值范围是（）？

答案为 a ≤-1或a ≥4，但不知道具体过程，想向老师求助。谢谢！

Answer 1

这个题目很刁，思路不清就会掉坑里。x与a是不相干的两个参数，所以要等式恒成立，就是说要先找到函数y=|x-3|－|x+1|的最大值Z，在找二次函数a²－3a图形位于Z上方的部分。所以此题关键点在于解开绝对值函数：|x+a|－|x+b|的最大值为|b-a|，最小值为-|b-a|。所以Z=4.所以解
4≤a²－3a
(a-4)(a+1)≥0
答案为 a ≤-1或a ≥4
Ps:题外请问你的平方数a²和≤、≥如何在字符状态下输入的？我不会输入啊，拷贝你的黏贴上来的

Answer 2

当x≤-1时，3-x+x+1≤a²-3a
即a²-3a-4≥0，解出a≥4或a≤-1
当x>3时，x-3-x-1≤a²-3a
即a²-3a+4≥0，-∞<a<+∞
当-1<x≤3时，3-x-x-1≤a²-3a
即a²-3a≥2-2x，而-4≤2-2x≤4
可以看出a≥4或a≤-1
由于不等式对任意实数x恒成立
所以a≥4或a≤-1

Answer 3

根据三角不等式，有-4<=|x-3|-|x+1|<=4
所以a^2-3a>=4
a^2-3a-4>=0
(a-4)(a+1)>=0
a<=-4或a>=4