Question

从1到50的自然数中取出若干个数,使其中任意两个数的和都不能被七整除,则最多可取多少个数

Answer 1

1、1,8,15,22,29
2、2,9,16,23,30
3、3,10,17,24
4、4,11,18,25
5、5,12,19,26
6、6,13,20,27
7、7,14,21,28
我们将1-30按对7的余数分成7组
显然，第1组的只与第6组的数在一起时，两个数的和才是7的倍数
第2、5，3、4组同样是这种情况
而第7组只要有两个数在一起，他们的和就能被7整除。
所以，我们要在1、6中选一组，2、5中选一组，3、4中选一组，7组中选一个，可以组成最多的那个组合，使得其中任意两个数的和都不能被7整除。
因为1、2组数多，所以都选上，然后3、4随便选一个即可，再加上7组中和一个
共
5*2+4+1=15个数
即最多能取出15个数，再加任意另外一个数都不能成立。

Answer 2

我们把这50个数按除7的余数划分为7类
0，1，2，3，4，5，6
再把这7个数划分为4类
（0.0）（1，6）（2，5）（3，4）
选取7类的4个类其中一类不为0
则必有2个数在同一类
为使类数达到最多
我们选数原则上不选7的倍数，选到最后只选取一个数是7的倍数，现在计算我们可以选区的数
50=7*7+1
与1一类的必选，可以选8，再从其它2类中选区7*2=14个
选完后选取一个可以整除7的元素
1
那么一共可以取8+14+1=23个数
这23个数可以是1，8，15，22，29，36，43，50
2，，9，16，23，30，37，44
3，10，17，24，31，38，45
7