Question

二重积分的计算

Answer 1

[-x*cos(x+y)]'
=
x*sin(x+y)
-
cos(x+y)
x*sin(x+y)
=
cos(x+y)
-
[x*cos(x+y)]'
以上是对
x
求导
的结果。把y暂看作常数。
二重积分，可以先把y看作常数，对x进行积分。然后再对y积分。
∫∫xysin(x+y)
dxdy
=
∫y
[∫xsin(x+y)
dx]
dy
=
∫y
{∫cos(x+y)
-
[x*cos(x+y)]'
dx
}
dy
=
∫y
[∫cos(x+y)
dx]
dy
-
∫y
∫[x*cos(x+y)]'
dx
dy
=
∫y
sin(x+y)
dy
-
∫xycos(x+y)
dy
对于其中第一项，仍然采用分部积分法
∫y
sin(x+y)
dy
=
∫
{cos(x+y)
-
[y*cos(x+y)]'
}
dy
=
sin(x+y)
-
y*cos(x+y)
对于第二项
∫xycos(x+y)
dy
=
x∫ycos(x+y)
dy
=
x
∫
{[ysin(x+y)]'
-
sin(x+y)
}
dy
=
xysin(x+y)
+
xcos(x+y)
因此
原二重积分结果为
sin(x+y)
-
y*cos(x+y)
-
xysin(x+y)
-
xcos(x+y)
=
(1
-xy)sin(x+y)
-
(x+y)
cos(x+y)
（经对x和y求导检验后，上述结果正确）
以下限代入
=
(1
-
0)*sin0
-
(0+0)cos0
=
0
以上限
x+y=π/2
代入
=
1
-
xy
=
1
-
x(π/2
-
x)
=
1
-
πx/2
+
x^2
其中
x
∈[0，π/2]
上限
为
x+y
=
π/2。但
x
和y
本身并非定值。这导致了积分结果依然是一个函数。

Answer 2

注意这里的二重积分
第一步是siny/y
dx
即是对x积分
那么siny/y就看作常数
积分得到siny/y
*x
代入x上下限y和y²
即得到siny
*(1-y)=siny-y*siny
再进行下一步积分即可

Answer 3

二重积分的计算方法

Answer 4

利用
极坐标
计算
二重积分
，有
公式
∫∫f(x,y)dxdy=∫∫f(rcosθ,rsinθ)rdrdθ
,其中
积分
区域是一样的。
I=∫dx∫(x^2+y^2)^-1/2
dy
x的积分
上限
是1,
下限
0
y的积分上限是x,下限是x²
积分区域D即为直线y=x,和直线y=x²在区间[0，1]所围成的
面积
，转换为极坐标后，θ的
范围
为[0,π/4],下面计算r的范围：
因为y=x²的极坐标方程为：rsinθ=r²cos²θ
r=sinθ/cos²θ
因为直线y=kx和
曲线
y=x²的交点为(0,0),(k,k²),所以在极坐标中r的
取值范围
为[0,sinθ/cos²θ],则积分I化为极坐标的积分为
I＝∫dθ∫1/√(rcosθ)²+(rsinθ)²rdr
=∫dθ∫dr
(θ范围[0,π/4],r范围[0,sinθ/cos²θ])
=∫(sinθ/cos²θ)dθ(θ范围[0,π/4])
=∫(-1/cos²θ)dcosθ
=|1/cosθ|(θ范围[0,π/4])
=1/cos(π/4)-1/cos0
=√2-1

Answer 5

比如说
积分
∫∫xydxdy积分区域D：0<=x^2+y^2<=1
其实无论怎么积．最后结果为零的例子很多
其实主要看的是积分区域是否对称，然后看被积
函数
对x对y的
奇偶性
，这种方法很实用