Question

若直线Y=2a与函数Y=|a的X次方-1|（a>0,且a不等于1）的图像有两个公共点，求实数a的取值范围

Answer 1

第一：a＞1时
（1）当x＞0时 y=a^x-1 这个是增函数最大值趋向无穷 所以必和 y=2a 交一点

（2）当x＜0时 y=1-a^x 这个是减函数 y=1-a^x 最大值接近1 但小于 y=2a 所以没有交点

所以当a＞1时 ，直线y=2a与函数y=Ia^x-1I （0<a,a不等于1)的图像只有1个交点 不符合题意。

第二：当0.5≤a＜1时

（1）当x>0时 y=1- a^x 这个是增函数最大值无穷接近1但达不到1 所以必没和 y=2a≥1 有交点

（2）当x<0时 y=a^x-1 这个是减函数，随x减小y增大，所以必和y=2a 有一个交点

所以当0.5≤a≤1时 ，直线y=2a与函数y=Ia^x-1I （0<a,a不等于1)的图像只有1个交点 不符合题意。

第三：当0<a<0.5时
（1）当x>0时 y=1- a^x 这个是增函数最大值无穷接近1但达不到1 所以必和 y=2a小于1 有一个交点

（2）当x<0时 y=a^x-1 这个是减函数，随x减小y增大到无穷，所以必和（0<y=2a <1）有一个交点

所以当0<a<0.5时 ，直线y=2a与函数y=Ia^x-1I （0<a,a不等于1)的图像有2个交点 符合题意。

综合以上3种 ：a的取值范围为0<a<0.5