Question

若函数f(x)在区间(a,a+1)上有极值

已知f(x)＝（1+lnx）/x ．
（1）若函数f（x）在区间（a，a+1）上有极值，求实数a的取值范围；
（2）若关于x的方程f（x）=x^2-2x+k有实数解，求实数k的取值范围；

Answer 1

f(x)=(1+lnx)/x, 定义域 x>0, 得 f'(x)=-lnx/x， 则驻点 x=1.
f''(x)=(2lnx-1)/x^3, f''(1)<0, 则 极大值点为 P(1,1).
(1) f(x) 在区间 (a, a+1) 上有极值, 则 0<a<1.
(2), 曲线C： y=f(x)=(1+lnx)/x， 当 x→0+ 时，y趋于负无穷大; 与x轴交于 Q(1/e,0);
极大值点为 P(1,1); 当 x→+∞ 时，y趋于0+.
曲线D: y=x^2-2x+k=(x-1)^2+k-1,是开口向上，对称轴为 x=1 的抛物线，
对称轴过P点。曲线 D 要与曲线 C 有公共点，
即 f（x）=x^2-2x+k 有实数解， 则 k-1≤1， 即 k≤2.

Answer 2

解:f'(x)=(1-lnx)/x² (x>0),已知函数有极值，令1-lnx=0;所以x=e.则函数f(x)在(0，e)上单调递增，在(e,+∞)上单减。由题设有a+1>e,e>a>0.解出a的取值范围为(e-1,e);