Question

在△ABC中，三内角A,B,C成等差数列，角B的对边b为1，求证：1＜a+c≤2

Answer 1

用正弦定理a:sinA=b:sinB=c:sinC B=60
得到a=2除以根号3乘以sinA
a+c=2除以根号3乘以(sinA+sinC)=2除以根号3乘以(sinA+sin(120-A))=
2除以根号3乘以(二分之三sinA+二分之根号三cosA)
=2sin(A+30)
考虑到A大于0小于120
得sin(A+30)da大于0.5，小于1
证毕

Answer 2

由A+B+C=180度，且ABC等差排列知道B=60度
b=1，结合正弦定理
得到2R=b/SinB=2√3/3
a+c=2R(SinA+SinC)
=4/√3Sin((A+C)/2)Cos((A-C)/2)
=4/√3Cos(90度-(A+C)/2)Cos((A-C)/2)
=4/√3Cos(B/2)Cos((A-C)/2)
=2Cos((A-C)/2)
因为Cos((A-C)/2)≤1
所以a+c≤2
当且仅当A=C，且B=60度，也就是正三角形时取等
因为abc构成三角形,所以a+c>b=1
所以1<a+c≤2

追问

a+c=2R(SinA+SinC)
=4/√3Sin((A+C)/2)Cos((A-C)/2)
这步解释一下

追答

这是和差化积的公式

追问

麻烦给一下
a+c=2R(SinA+SinC)
=4/√3Sin((A+C)/2)Cos((A-C)/2)
这个的原型公式，谢谢

追答

到网上找一下吧，网上是有的。

追问

我选你为满意答案，为什么显示的是别人

追答

你要点问题下面的“采纳为最佳”才行。