Question

设函数f(x)对任意x,y属于R都有f(x+y)=f(x)+f(y)且当x>0时,f(x)<0,f(1)=-2

（1）证明fx为奇函数
（2）证明fx在R上是减函数
（3）若f（2x+5）+f（6-7x）>4求x的取值范围

Answer 1

解1由f(x+y)=f(x)+f(y)
取x=y=0
即f(0+0)=f(0)+f(0)
即f（0）=0
取-x代替y
即f(x+（-x）)=f(x)+f(-x)
即f(0)=f(x)+f(-x)
即f(x)+f(-x)=0
即f（-x）=-f（x）
故fx为奇函数

2设x1，x2属于R,且x1＞x2
则f（x1）-f（x2）
=f（x1）+f（-x2）
=f（x1-x2）
由x1＞x2
即x1-x2＞0
又由当x>0时,f(x)<0,
即f（x1-x2）<0,
即f（x1）-f（x2）<0,
故fx在R上是减函数

3f(x+y)=f(x)+f(y)
知f（2）
=f（1）+f（1）
=-2-2
=-4
故4=-f（2）
由f（2x+5）+f（6-7x）>4

得f（2x+5）+f（6-7x）>-f（2）

由f（x）是奇函数，则-f（2）=f（-2）
即f（2x+5）+f（6-7x）>f（-2）
即f[（2x+5+6-7x）]>f（-2）
即f[（11-5x）]>f（-2）
由fx在R上是减函数
即11-5x＜-2
即5x＞13
即x＞13/5

Answer 2