Question

求不定积分 dx/(x(1+x^2)^1/2)

Answer 1

令x=tant,
则dx=sec²tdt
∫dx/[x√(1+x²)]
=∫sec²t/(tantsect)
dt
=∫sect/tant
dt
=∫1/sint
dt
=∫csct
dx
=∫csct(csct-cott)/(csct-cott)dt
=∫(csc²t-csctcott)/(csct-cott)dx
=∫d(csct-cott)/(csct-cott)
=ln|csct-cott|+C
=ln|[√(1+x²)-1]/x|+C
=ln[√(1+x²)-1]-ln|x|+C
C为任意常数
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你的答案和我的答案其实是一样的
-1/2lnl(1+(1+x^2)^1/2)/(1-(1+x^2)^1/2)l+C
=(1/2)
ln[l(1+(1+x^2)^1/2)/(1-(1+x^2)^1/2)l^(-1)]+C.......利用对数性质，把负号消掉
=(1/2)lnl(1-(1+x^2)^1/2)/(1+(1+x^2)^1/2)l+C
=(1/2)ln|(1-(1+x^2)^1/2)²/x²|+C.......对数真数分母有理化，分子分母同时乘以1-(1+x^2)^1/2
=ln|((1+x^2)^1/2-1)/x|+C.......利用对数性质，把1/2化进真数
=ln[√(1+x²)-1]-ln|x|
+C
.......对数运算性质