Question

已知函数y=f（x）的定义域为R，并对一切实数x，都满足f（2+x）=f（2-x）.

若f（x）是偶函数，且x∈[0，2]时，f（x)=2x-1，求x∈[-4,0]时f(x)的表达式.

Answer 1

令t=2+x,f（2+x）=f（2-x),则有f(t)=f(4-t),f（x）是偶函数则有f(t)=f(-t)=f(t+4),
f（x）是偶函数，且x∈[0，2]时，f（x)=2x-1,则x∈[-2，0],f(x)=1-2x;
x∈[-4，-2]时,x+4∈[0，2],有f(x+4)=f(x)=2x-1

Answer 2

解:令2<=t<=4,且t=x+2,则0<=x<=2,
f(t)=f(2+x)=f(2-x),0<=(2-x)<=2
所以f(t)=f(2-x)=2(2-x)-1,
=3-2x(又x=t-2)
=-2t+7.(2<=t<=4)
因为f(x)是偶函数。可令-4<=a<-2,则
2<=-a<=4,f(a)=f(-a)=2a+7,(-4<=a<-2)
令-2<=k<=0,0<=-k<2,
f(k)=f(-k)=-2k-1,(-2<=k<=0)
综上，f(x)=2x+7,(-4<=x<-2)
f(x)=-2x-1,(-2<=x<=0)

Answer 3

要y=f(x)图像关于x=2对称,则要对于每个y=f(x)上的点P(x1,y1),都有它关于x=2对称点P'(x1',y1')在图像上
x1'=4-x1
y1'=y1
由于f(2+x)=f(2-x)
∴对于任意实数x,有f(x)=f(4-x)
∴y1'=y1=f(x1)=f(4-x1)=f(x1')
∴P'在图像上
∴函数y=f(x)的图像关于直线x=2对称