Question

如图,△abc内接于⊙o,且ab为⊙o的直径.∠acb的平分线交⊙o于点d,过点d作⊙o的

如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径．∠ACB的平分线交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线PD交CA的延长线于点P，过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F． （1）求证：DP∥AB； （2）若AC=6，BC=8，求线段PD的长．

Answer 1

（1）证明：如图，连接OD， ∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°。 ∵∠ACB的平分线交⊙O于点D，∴∠ACD=∠BCD=45°。 ∴∠DAB=∠ABD=45°。∴△DAB为等腰直角三角形。 ∴DO⊥AB。 ∵PD为⊙O的切线，∴OD⊥PD。 ∴DP∥AB。 （2）在Rt△ACB中， ， ∵△DAB为等腰直角三角形，∴ 。 ∵AE⊥CD，∴△ACE为等腰直角三角形。∴ 。 在Rt△AED中， ， ∴ 。 ∵AB∥PD，∴∠PDA=∠DAB=45°。∴∠PAD=∠PCD。 又∵∠DPA=∠CPD，∴△PDA∽△PCD。∴ 。 ∴PA= PD，PC= PD。 又∵PC=PA+AC，∴ PD+6= PD，解得PD= 。