Question

如图，已知AD为三角形ABC的角平分线，AD的垂直平分线交BC延长线于点E,交AB于点F

求证：
三角形BAE∽ACE
AB²：AC²=BE：CE

Answer 1

∵AD的垂直平分线交AD于E，
∴AF=DF，
∴∠EAC+∠CAD=∠EDA，
三角形的外角等于不相邻的两个内角和
∴∠B+∠BAD=∠EDA，
AD为三角形ABC的角平分线
∠BAD=∠CAD，
∴∠B=∠CAE，
∵∠AEC=∠BEA，
∴△ACE∽△BAE，

（2）∵△ACE∽△BAE，
∴
AB :AC =AE :CE
AB:AC =BE:AE
上面两式两边分别相乘，
AB²：AC²=BE：CE

满意求采纳

Answer 2

(1)由EF垂直平分AD，
∴AE=DE，得：∠EAD=∠EDA，（1）
由AD平分∠BAC，，∴∠BAD=∠CAD，（2）
∴∠EDA=∠EAB+∠BAD，
又∠EDA=∠C+∠CAD，
由（2）得：∠EAB=∠C，
由∠AEC是公共角，
∴△BAE∽△ACE。
证毕。
(2)因为△BAE∽△ACE
∴AB²：AC²=BE：CE

追问

请问第二个问怎么证的？

追答

因为△ACE∽△BAE.
所以面积比即相似比的平方为AB^2:AC^2
又以BE，CE为底边时，高相同，所以面积比为BE:CE
所以可得：AB^2:AC^2=BF:CF