Question

已知函数f(x)=|x+1|+|x-1|(x∈R)判断函数f(x)的奇偶性并证明

利用绝度值及分段函数知识，将函数解析式写成分段函数，写出函数f(x)的值域

Answer 1

解由f(x)=|x+1|+|x-1|
知f(-x)=|-x+1|+|-x-1|
=|-(x-1)|+|-(x+1)|
=|x-1|+|x+1|
=|x+1|+|x-1|
=f(x)
即f(-x)=f(x)
故f(x)是偶函数，

x+1+x-1=2x x≥1
f（x）=｛x+1-（x-1）=2 -1＜x＜1
-(x+1)-(x-1)=-2x x≤-1
由题知当x≥1时f(x)=2x≥2
当-1＜x＜1时，f(x)=2
当x≤-1时，f(x)=-2x≥2
故知f(x)≥2
故函数的值域[2,正无穷大）。

Answer 2

奇函数的定义是：f(x)+f(-x)=0;关于原点对称
偶函数的定义是: f(x)=f(-x);关于y轴对称
先把绝对值打开：f(x)=|x+1|+|x-1|=-2x(x<-1),-2(-1<=x<=1),2x(x>1);

画出f(x)图像，我们可以知道，f(x)是关于y轴对称的，所以说它是一个偶函数。

Answer 3

f(x)=|x+1|+|x-1|
f(-x)=|-x+1|+|-x-1|=|x-1|+|x+1|=f(x)
是偶函数
f(x)=2x (x>1)
=2 (-1≤x≤1)
=-2x (x<-1)
f(x)≥2