Question

在三角形ABC中.E是BC的中点,在AC上有一点D,且满足CD=AB,F是AD的中点,连接EF并延长交BA的延长线于G.

在三角形ABC中.E是BC的中点,在AC上有一点D,且满足CD=AB,F是AD的中点,连接EF并延长交BA的延长线于G.求证:AG=AF

Answer 1

延长CA至H，使AH＝AB。
∵AH＝AB，∴∠AHB＝∠ABH。
∵AH＝AB、CD＝AB，∴AH＝CD，又AF＝DF，∴AH＋AF＝CD＋DF，∴AF＝CF，而BE＝CE，
∴EF是△BCH的中位线，∴EF∥BH，∴∠AHB＝∠AFG、∠ABH＝∠AGF，又∠AHB＝∠ABH，
∴∠AFG＝∠AGF，∴AG＝AF。

Answer 2

延长CA至H，使AH=AB，连接BH、EF
∵AH＝AB CD＝AB
∴AH＝CD
又∵AF＝DF，
∴AH＋AF＝CD＋DF
即AF＝CF
∵ E是BC的中点，
∴EF是△BCH的中位线
∴EF∥BH
∴∠AHB＝∠AFG、∠ABH＝∠AGF
∵AH＝AB
∴∠AHB＝∠ABH。

∴∠AFG＝∠AGF
∴AG＝AF