Question

在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,设AC=b,BC=a,AB=c,CD=h.

在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，设AC=b，BC=a，AB=c，CD=h． 求证：（1）1/a^2 +1/b^2 =1/h^2 ；
（2）以a+b，h和c+h为边是否构成三角形？如果构成三角形，试确定该三角形的形状；如果不能构成三角形，试说明理由．

Answer 1

第一个问题：
∵∠ACB＝90°，∴由勾股定理，有：BC^2＋AC^2＝AB^2，∴a^2＋b^2＝c^2。······①
∵BC⊥AC、CD⊥AB，∴由三角形面积公式，有：（1/2）BC×AC＝（1/2）AB×CD，
∴ab＝ch，∴（ab）^2＝（ch）^2。······②
①÷②，得：1/a^2＋1/b^2＝1/h^2。

第二个问题：
∵（a＋b）^2＋h^2＝a^2＋b^2＋2ab＋h^2＝c^2＋2ch＋h^2＝（c＋h）^2，
∴（a＋b）、h、（c＋h）为边能构成了一个直角三角形。

Answer 2

解：（1）由等面积可得：
AB×CD=AC×CB，即ch=ab
左右平方可得：c²h²=a²b²
对其变化可得：c²/(a²b²)=1/h²
又因为a²+b²=c²
所以（a²+b²）/(a²b²)=1/h²
即：1/a² +1/b² =1/h²
（2）能构成三角形，而且是直角三角形
因为（a+b）²+h²=a²+2ab+b²+h²
=c²+2ab+h²
又因为ab=ch
所以（a+b）²+h²=c²+2ch+h²=（c+h）²
所以能构成直角三角形