Question

如图所示，C为线段AB上一点，分别以AC,CB为边在AB的同侧作等边三角形ACD和等边三角形BCE，AE交DC于点G，

DB交CE于点H。连接GH，求证：GH∥AB

Answer 1

过B点做BF平行于EC并交DC延长线于F
由于三角形ACD和三角形BCE都是等边三角形，所以DC∥EB，
所以四边形ECFB是菱形。
因为DC∥EB，所以三角形ACG与三角形ABE相似，则CG：AC=EB：AB
因为EC∥FB，所以三角形DCH与三角形DFB相似，则CH：DC=BF：DF
因为AC=DC，EB=BF，AB=AC+CB=DC+CF=DF
所以CG=CH，因为∠DCH=60度，所以三角形GCE为等边三角形，即∠GHC=60度=∠HCB
所以GH∥AB

Answer 2

∵∠ACD=∠BCE=60°，
∴∠ACE=∠DCB=120°，
又∵AC=DC，EC=BC，
∴△ACE≌△DCB，
∴∠CAE=∠CDB，
又∵∠ACG=∠DCH=60°，AC=DC，
∴△ACG≌△DCH，
∴CG=CH，
∴△CHG等边，
∴∠HGC=60°=∠ACD，
∴HG∥AB