Question

如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦ED分别交⊙O于点E，交AB于点H，交AC于点F，过点

如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦ED分别交⊙O于点E，交AB于点H，交AC于点F，过点C的切线交ED的延长线于点P．（1）若PC=PF，求证：AB⊥ED；（2）点D在劣弧AC的什么位置时，才能使AD 2 =DE?DF，为什么？

Answer 1

（1）证明：连接OC，∵PC为⊙O的切线， ∴∠OCP=∠FCP+∠OCF=90°， ∵PC=PF， ∴∠PCF=∠PFC， ∵OA=OC， ∴∠OCA=∠OAC， ∵∠CFP=∠AFH， ∴∠AFH+∠OAC=90°， ∴∠AHF=90°， 即：AB⊥ED． （2）D在劣弧AC的中点时，才能使AD 2 =DE?DF． 连接AE．若AD 2 =DE?DF， 可得：△FAD ∽ △AED， ∴∠FAD=∠DEA， ∴ AD = CD ． 即D为劣弧AC的中点时，能使AD 2 =DE?DF．