Question

已知：a，b，c，d∈R，求证：（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）

已知：a，b，c，d∈R，求证：（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）．

Answer 1

证明：解法1 （分析法）要证（ac+bd）²≤（a²+b²）（c²+d²），（2分）
即证：a²c²+b²d²+2abcd≤a²c²+a²d²+b²c²+b²d² ，（4分）
即证：2abcd≤a²d²+b²c² ，（6分）
即证：0≤a²d²+b²c²-2abcd=（ad+bc）²，（8分）
上式明显成立．（10分）  故（ac+bd）²≤（a²+b²）（c²+d²）（12分）
解法2 （综合法）因为a²d²+b²c²≥2abcd（重要不等式）（3分）
所以（ac+bd）²=a²c²+b²d²+2abcd（6分）≤a²c²+a²d²+b²c²+b²d²（9分）=（a²+b²）（c²+d²）（12分）
解法3 （作差法）因为（a²+b²）（c²+d²）-（ac+bd）²（2分）=（a²c²+a²d²+b²c²+b²d²）-（a²c²+b²d²+2abcd）（5分）
=b²c²+a²d²-2abcd（8分）=（b²c²-a²d²）²≥0（10分）
所以（ac+bd）²≤（a²+b²）（c²+d²）． （12分）