Question

（2009?宝山区二模）如图，矩形ABCD中，AB＝2，点E是BC边上的一个动点，连接AE，过点D作DF⊥AE，垂足为点

（2009?宝山区二模）如图，矩形ABCD中，AB＝2，点E是BC边上的一个动点，连接AE，过点D作DF⊥AE，垂足为点F．（1）设BE=x，∠ADF的余切值为y，求y关于x的函数解析式；（2）若存在点E，使得△ABE、△ADF与四边形CDFE的面积比是3：4：5，试求矩形ABCD的面积；（3）对（2）中求出的矩形ABCD，连接CF，当BE的长为多少时，△CDF是等腰三角形？

Answer 1

解答：解：（1）∵DF⊥AE，∴∠DFA=90°又∠B=90°，
∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∴△ABE∽△DFA，
∴

BE

FA

＝

AB

DF

，
∴y＝

2

x

；（3分）

（2）∵△ABE：△ADF：四边形CDFE的面积比是3：4：5，
∴S△ABE＝

1

4

S矩形ABCD，
∴BE＝

1

2

BC，（1分）
设BE=x，则BC=2x，
∵△ABE∽△DFA，且△ABE：△ADF=3：4
∴

AD2

AE2

＝

4

3

，∴

4x2

x2+2

＝

4

3

，（2分）
解得x=1，（1分）
∴BC=2，S矩形ABCD＝2

2

；（1分）

（3）①CF=CD时，过点C作CM⊥DF，垂足为点M，
则CM∥AE，DM=MF，（1分）
延长CM交AD于点G，
∴AG=GD=1，
∴CE=1，
∴当BE=1时，△CDF是等腰三角形；（1分）

②DF=DC时，则DC=DF=

2

，
∵DF⊥AE，AD=2，
∴∠DAE=45°，（1分）
则BE=

2

，
∴当BE=

2

时，△CDF是等腰三角形；（1分）

③FD=FC时，则点F在CD的垂直平分线上，故F为AE中点．
∵AB=

2

，BE=x，
∴AE=

2+x2

，
AF=

2+x2

2

∵△ADF∽△EAB，
∴

AD

AE

＝

AF

EB

，

2

2+x2

＝

2+x2 2

x

，
x²-4x+2=0，
解得x＝2±

2

，
∴当BE=2?

2

时，△CDF是等腰三角形．（1分）