Question

若f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且对一切x，y＞0满足f(xy)＝f(x)?f(y)．（1）求f（1）的值；（2

若f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且对一切x，y＞0满足f(xy)＝f(x)?f(y)．（1）求f（1）的值；（2）若f（6）=1，解不等式f(x+5)?f(1x)≤2．

Answer 1

（1）令x=y=1，则有f（1）=f（1）-f（1）=0；
（2）∵对一切x，y＞0满足f(

x

y

)＝f(x)?f(y)即f(

x

y

)+f(y)＝f(x)，
∴对一切x，y＞0满足f（x）+f（y）=f（x?y），
又∵f（6）=1∴2=f（6）+f（6）=f（36）；
∵f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，
∴f(x+5)?f(

1

x

)≤2?

x+5＞0 x＞0 f[(x+5)?x]≤f(36)

?

x＞0 (x+5)?x≤36

?

x＞0 (x+9)?(x?4)≤0

?0＜x≤4
故不等式f(x+5)?f(

1

x

)≤2的解集为：（0，4]．