在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知acosB-bsinB=c．（Ⅰ）若B=π6，求A；（Ⅱ）求sinA+sinB
在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知acosB-bsinB=c．（Ⅰ）若B=π6，求A；（Ⅱ）求sinA+sinB的取值范围．...
在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知acosB-bsinB=c．（Ⅰ）若B=π6，求A；（Ⅱ）求sinA+sinB的取值范围．
展开
展开全部
（Ⅰ）由已知条件及正弦定理，得sinAcosB-sin2B=sinC，
∵sinC=sin[π-（A+B）]=sin（A+B），
∴sinAcosB-sin2B=sin（A+B），即sinAcosB-sin2B=sinAcosB+cosAsinB，
∴cosAsinB=-sin2B，
∵sinB≠0，
∴cosA=-sinB=-sin
=-
，
∵0＜A＜π，
∴A=
；
（Ⅱ）由（Ⅰ），得cosA=-sinB，
∴sinA+sinB=sinA-cosA=
sin（A-
）．
又cosA=-sinB=cos（
+B），
∴A=
+B，
∵A+B＜π，
∴
＜A＜
，
∴
＜A-
＜
，
∴
＜sin（A-
）＜1，
∴1＜
sin（A-
）＜
．
则sinA+sinB的取值范围为（1，
∵sinC=sin[π-（A+B）]=sin（A+B），
∴sinAcosB-sin2B=sin（A+B），即sinAcosB-sin2B=sinAcosB+cosAsinB，
∴cosAsinB=-sin2B，
∵sinB≠0，
∴cosA=-sinB=-sin
| π |
| 6 |
| 1 |
| 2 |
∵0＜A＜π，
∴A=
| 2π |
| 3 |
（Ⅱ）由（Ⅰ），得cosA=-sinB，
∴sinA+sinB=sinA-cosA=
| 2 |
| π |
| 4 |
又cosA=-sinB=cos（
| π |
| 2 |
∴A=
| π |
| 2 |
∵A+B＜π，
∴
| π |
| 2 |
| 3π |
| 4 |
∴
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
∴
| ||
| 2 |
| π |
| 4 |
∴1＜
| 2 |
| π |
| 4 |
| 2 |
则sinA+sinB的取值范围为（1，
