如图,△ABC是边长为4cm的等边三角形,AD为BC边上的高,点P沿BC向终点C运动,速度为1cm/s,点Q沿CA、AB向
如图,△ABC是边长为4cm的等边三角形,AD为BC边上的高,点P沿BC向终点C运动,速度为1cm/s,点Q沿CA、AB向终点B运动,速度为2cm/s,若点P、Q两点同时...
如图,△ABC是边长为4cm的等边三角形,AD为BC边上的高,点P沿BC向终点C运动,速度为1cm/s,点Q沿CA、AB向终点B运动,速度为2cm/s,若点P、Q两点同时出发,设它们的运动时间为x(s).(l)求x为何值时,PQ⊥AC;x为何值时,PQ⊥AB?(2)当O<x<2时,AD是否能平分△PQD的面积?若能,说出理由;(3)探索以PQ为直径的圆与AC的位置关系,请写出相应位置关系的x的取值范围(不要求写出过程).
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解:(1)当Q在AB上时,显然PQ不垂直于AC,
当Q在AC上时,由题意得,BP=x,CQ=2x,PC=4-x;
∵AB=BC=CA=4,
∴∠C=60°;
若PQ⊥AC,则有∠QPC=30°,
∴PC=2CQ,
∴4-x=2×2x,
∴x=
;
当x=
(Q在AC上)时,PQ⊥AC;
如图:①
当PQ⊥AB时,BP=x,BQ=
x,AC+AQ=2x;
∵AC=4,
∴AQ=2x-4,
∴2x-4+
x=4,
∴x=
,
故x=
时PQ⊥AB;
(2)过点QN⊥BC于点N,
当0<x<2时,在Rt△QNC中,QC=2x,∠C=60°;
∴NC=x,
∴BP=NC,
∵BD=CD,
∴DP=DN;
∵AD⊥BC,QN⊥BC,
∴DP=DN;
∵AD⊥BC,QN⊥BC,
∴AD∥QN,
∴OP=OQ,亏拿
∴S△PDO=S△DQO,
∴AD平分帆空衡△PQD的面积;
(3)显然,不存在x的值,使得以PQ为直径的圆与AC相离,
当x=
或
时,以PQ为直径的圆与AC相切态做,
当0≤x<
或
<x<
或
<x≤4时,以PQ为直径的圆与AC相交.
当Q在AC上时,由题意得,BP=x,CQ=2x,PC=4-x;
∵AB=BC=CA=4,
∴∠C=60°;
若PQ⊥AC,则有∠QPC=30°,
∴PC=2CQ,
∴4-x=2×2x,
∴x=
4 |
5 |
当x=
4 |
5 |
如图:①
当PQ⊥AB时,BP=x,BQ=
1 |
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∵AC=4,
∴AQ=2x-4,
∴2x-4+
1 |
2 |
∴x=
16 |
5 |
故x=
16 |
5 |
(2)过点QN⊥BC于点N,
当0<x<2时,在Rt△QNC中,QC=2x,∠C=60°;
∴NC=x,
∴BP=NC,
∵BD=CD,
∴DP=DN;
∵AD⊥BC,QN⊥BC,
∴DP=DN;
∵AD⊥BC,QN⊥BC,
∴AD∥QN,
∴OP=OQ,亏拿
∴S△PDO=S△DQO,
∴AD平分帆空衡△PQD的面积;
(3)显然,不存在x的值,使得以PQ为直径的圆与AC相离,
当x=
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当0≤x<
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