第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分6分.已知点 为双曲线 的左、右焦点，过 作
第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分6分.已知点为双曲线的左、右焦点，过作垂直于轴的直线，在轴上方交双曲线于点，且，圆的方程为.（1）求双曲线的方...
第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分6分.已知点 为双曲线 的左、右焦点，过 作垂直于 轴的直线，在 轴上方交双曲线于点 ，且 ，圆 的方程为 . （1）求双曲线 的方程；（2）过圆 上任意一点 作切线 交双曲线 于 两个不同点， 中点为 ，求证： ；（3）过双曲线 上一点 作两条渐近线的垂线，垂足分别是 和 ，求 的值
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| （1）  ；（2）见解析；（3） |
| 本试题主要考查了双曲线的运用。
解：（1）设  的坐标分别为 ----------------1分因为点M在双曲线C上，所以  ，即 ，所以 ------2分在   中， ， ，所以 -------3分由双曲线的定义可知：  故双曲线C的方程为： -------------------4分（2）①当切线l的斜率存在 设  ，切线 3 的方程为：  代入双曲线C中，化简得：  所以  -------------------6分因为直线l与圆O相切，所以  ，代入上式，得 -----------7分设点M的坐标为  ，则 所以-------------------8分 即|AB|=2|OM|成立 ②当切线l的斜率不存在时，  ，即|AB|=2|OM|成立-------------------10分 （3）由条件可知：两条渐近线分别为   ------11分设双曲线C上的点P(x 0 ,y 0 )， 则点P到两条渐近线的距离分别为  --------------13分因为P(x 0 ,y 0 )，在双曲线C： 
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