Question

一题高中数学题，挺难的，请写出理解过程

给定一函数f(x)，若对于定义域中任意数x，都有f(x)≤α；则称α为f(x)的上界，把f(x)的最小上界称为f(x)的上确界，记为supf(x)，设当-1＜t＜x时，M(x)=supt^2，则M(0)=_____
M(x)最小值为________

Answer 1

你好，我试着回答你的问题，你自己对对答案，看看我说的是否正确。对于定义域中任意数x，因为第一空问我们M(0)=多少，所以这里我们先取x为0，那么，根据题中的这一条件：设当-1＜t＜x时，M(x)=supt^2，我们可以得出：当-1＜t＜0时，M(0)=supt^2（即令x为零），这个式子中的t^2就相当于一个函数f(x)，对吗？这一点你可以对比这两种表达方式看出来：supt^2和supf(x)。所以，也就是说，现在我们只要知道t^2的上确界supt^2，就能求出M(0)，因为上面的式子告诉我们：M(0)=supt^2。t^2的范围我们可以根据-1＜t＜0这个式子求出来，即0＜t^2＜1，根据上确界的定义，t^2的最小上界就是上确界，可以看出1就是t^2的最小上界，因为0＜t^2＜1，所以supt^2=1，所以，M(0)=supt^2=1。第二问，求M(x)最小值。通过这个式子来看：M(x)=supt^2。思路和第一步是一样的，我们先要找出t^2的范围，然后算出t^2的上确界，进而判断M(x)的最小值。这里的t^2依然相当于supf(x)中的f(x)。根据-1＜t＜x，可以得出0≤t^2≤1或者0≤t^2≤x^2，因为我们不知道x的绝对值是否大于1，但是t^2是肯定大于零的。所以，接下来可以分情况讨论。当x的绝对值小于1时，我们得出的是这个式子：0≤t^2＜1，这和第一问我们计算M(0)时的情形一样，所以M(x)=supt^2=1。当x的绝对值大于等于1时，我们得出的是这个式子：0≤t^2≤x^2，其中1≤x^2，这是因为x的绝对值大于等于1。所以，根据这个式子0≤t^2≤x^2，可以看出t^2的最小上界应该是x^2，所以supt^2=x^2，又因为M(x)=supt^2，所以M(x)=x^2。因为1≤x^2，所以1≤M(x)。再结合x小于1的情况，得出的M(x)的范围依然是1≤M(x)，所以M(x)的最小值应该是1。我应该说的很详细了。有看不明白的地方可以追问我。

Answer 2

可以画图来帮忙： y= x²
当 -1<x≤1 时， M(x) = 1; 当 x >1时， M(x) = x²
M(0) = 1; M(x) 最小值是 1.

Answer 3

上确界是大学数学 数学分析里面一个概念，不过拿到这里理解也不困难，此题目是一道开放题目。

这个题 最关键的是根据题意写出M(x)的表达式，首先M(x)的定义域X肯定是x>-1, 可以简单分成两段考虑，当-1<x<=1 时，在这一段 M(x) = sup t^2 上确界肯定是1，因为t^2<=1, (-1<t<=1), 所以上确是1， 当x>1的时候，M(x) = sup t^2（1<t<x）肯定是 当x=t时候的值，所以此时M（x）= x^2, 所以总体来看，-1<x<=1，M(x)=1， x>1的时候，M(x)= x^2, 所以M(0)=1，最小值也是1。

Answer 4

supt^2 是y（t）=t^2这个函数的上确界。 若t的定义域为有理数，则上确界不存在。
所以给 t一个范围，上确界便存在了，且与这个范围有关。给t的范围是-1＜t＜x时，上确界确定，且去x有关，设其为M(x),即M(x)=supt^2。
x=0时，t的范围是-1＜t＜0，t^2上确界的可知为1，即M(0)=1。
x大于-1小于等于1时，上确界都为1；x大于1时，上确界大于1。所以 M(x)最小为1。
急求分。