Question

已知x、y均为实数，且满足xy+x+y=17，x 2 y+xy 2 =66，求：代数式x 4 +x 3 y+x 2 y 2 +xy 3 +y 4 的值

已知x、y均为实数，且满足xy+x+y=17，x 2 y+xy 2 =66，求：代数式x 4 +x 3 y+x 2 y 2 +xy 3 +y 4 的值．

Answer 1

由已知条件可知xy和（x+y）是方程t 2 -17t+66=0的两个实数根，由t 1 =6，t 2 =11 得 xy=6 x+y=11 或 xy=11 x+y=6 当xy=11，x+y=6时，x、y是方程v 2 -6v+11=0的两个根 ∵△ 1 =36-44＜0 ∴此方程没有实数根 当xy=6，x+y=11时，x、y是方程u 2 -11u+6=0的两个根 ∵△ 2 =121-24＞0 ∴此方程有实数根，这时x 2 +y 2 =（x+y） 2 -2xy=109 ∴x 4 +x 3 y+x 2 y 2 +xy 3 +y 4 =x 4 +y 4 +x 2 y 2 +xy（x 2 +y 2 ）=（x 2 +y 2 ） 2 -x 2 y 2 +xy（x 2 +y 2 ）=12499．