Question

设二次方程x^2-(a-2)x+(a+1)=0有两个实数根x1和x2，

设二次方程x^2-(a-2)x+(a+1)=0有两个实数根x1和x2，(1)求a的取值范围。(2)a为何值时，x1^2+x2^2有最小

Answer 1

解：（1）由题方程有两个实数根，则Δ≥0
即Δ=（a-2）^2-4(a+1)
（a-2）^2-4(a+1) ≥0
a^2-4a+4-4a-4≥0

即a(a-8)≥0
所以a≥8或a<=0

（2）由韦达定理得，x1+x2=a-2，x1×x2=a+1。
x1^2+x2^2=（x1+x2）^2-2x1×x2
=(a-2)^2-2(a+1)
=a^2-6a+2=(a-3)^2-7
令f(a)=(a-3)^2-7，（a≥8或a<=0）

x1^2+x2^2有最小时，即f(a)=(a-3)^2-7在（a≥8或a<=0）取最小值。
结合函数f(a)的图像可知,f(a)在a<=0段为减函数，在a≥8段为曾函数，而f(0)=2<f(8)=18
所以f(a)取最小时为2，此时a=0
即a=0时，x1^2+x2^2有最小值2.

Answer 2

（1）根的判别式大于等于0
(a-2)^2-4(a+1)>=0
然而这个方程的解是a<=0或a>=8.

（2）韦达定理，两根和 ，两根积。配方得到目标函数
结合第一题中的范围可知当a=0时候。两根和最小 。具体计算如下
x1+x2=a-2
x1×x2=a+1
构造函数F(a)=x1^2+x2^2

F（a）=( x1+x2)^2-2 x1×x2
=(a-2) ^2-2 (a+1)
=a^2-4a+4-2a-2
=a^2-6a+2
=(a-3) ^2-7 （a<=0或a>=8）
画出函数F(a)图象，可知道当F（0）<F（8）
当a=0时候，目标函数最小，两根和为2

Answer 3

解：（1）由题知方程有解则Δ≥0
Δ=（a-2）^2-4(a+1)
（a-2）^2-4(a+1) ≥0
a^2-4a+4-4a-4≥0
a^2-8 a≥0
得a≥0且a≥8
所以得a≥8
（2）x1+x2=a-2
x1×x2=a+1
x1^2+x2^2
=[( x1+x2)^2-2 x1×x2]
=[(a-2) ^2-2 (a+1)]
=(a^2-4a+4-2a-2)
=(a^2-6a+2)
=(a-3) ^2-7
x1^2+x2^2为最小时 有(a-3) ^2-7=0
(a-3) ^2-7=0
a=3+√7