Question

如图，已知抛物线y=mx 2 +（3-m）x+m 2 +m交x轴于C（x 1 ，0），D（x 2 ，0）两点，（x 1 ＜ x 2 ）且（

如图，已知抛物线y=mx 2 +（3-m）x+m 2 +m交x轴于C（x 1 ，0），D（x 2 ，0）两点，（x 1 ＜ x 2 ）且（x 1 +1）（x 2 +1）=5（1）试确定m的值；（2）过点A（-1，-5）和抛物线的顶点M的直线交x轴于点B，求B点的坐标；（3）设点P（a，b）是抛物线上点C到点M之间的一个动点（含C、M点），△POQ是以PO为腰、底边OQ在x轴上的等腰三角形，过点Q作x轴的垂线交直线AM于点R，连接PR．设△PQR的面积为S，求S与a之间的函数关系式．

Answer 1

（1）因为培橡抛物线y=mx 2 +（3-m）x+m 2 +m交x轴于C（x 1 ，0），D（x 2 ，0）两点（x 1 ＜x 2 ）且（x 1 +1）（x 2 +1）=5， ∴m≠0 ∵ x 1 + x 2 = m-3 m ， x 1 x 2 = m 2 +m m ，且△=（3-m） 2 -4m（m 2 +m）＞0， 又∵x 1 x 2 +x 1 +x 2 +1=5， ∴ m 2 +m m + m-3 m +1=5 ， 解得m=-1，或m=3，而m=3使△＜0，不合题意，故舍去， ∴m=-1； （2）由（1）知抛物线的解析式为y=-x 2 +4x， ∴顶点M的坐标为（2，4）．如图， 设直线AM的解析式为y=kx+b， ∵A（-1，-5）， 则有 -5=-k+b 4=2k+b ， 解得 k=3 b=-2 ， ∴y=3x-2， 当y=0时， x= 2 3 ， ∴B点的坐标为（ 2 3 ，0）； （3）依题意，颂升点P（a，b）是抛物线上点C到点M之间的一个动点， ∴0＜a≤2， ∴Q点坐标为（2a，0）， 由（2）知直线AM为配樱旁y=3x-2， ∴当x=2a时，y=6a-2， ∴点R的坐标为（2a，6a-2）， 过点P作PN⊥RQ于点N， ∵RQ=|6a-2|，PN=|a|， ∴ S= 1 2 RQ?PN = 1 2 |6a-2|?|a| ， 当 0＜a＜ 1 3 时， S= 1 2 (2-6a)?a =-3a 2 +a， 当 a= 1 3 时，△PQR不存在； 当 1 3 ＜a≤2 时， S= 1 2 (6a-2)?a =3a 2 -a．