Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是∠ADC=60°的菱形，侧面PDC是边长为2的正三角形，且与底面ABCD垂直，M

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是∠ADC=60°的菱形，侧面PDC是边长为2的正三角形，且与底面ABCD垂直，M为PB的中点。（1）求证：PA⊥平面CDM；（2）求二面角D-MC-B的余弦值。

Answer 1

解：由底面ABCD为菱形且∠ADC=60°，DC=2，DO=1，有OA⊥DC，分别以OA、OC、OP所在直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系如图， 则 。 （1） 由M为PB中点， ， ∴ ， ∴ ∴PA⊥DM，PA⊥DC， ∴PA⊥平面DMC； （2） ，设平面BMC的法向量 ， 则由 可得x+z=0，由 可得 ， 取x=-1则 ， 所以可取 ， 由（1）知平面CDM的法向量可取 ， ∴ ， 又易知二面角D-MC-B为钝二面角， ∴二面角D-MC-B的余弦值为 。