Question

已知二次函数f（x）=ax2+bx+c．

1）若a＞b＞c，且f（1）=0，是否存在m∈R，使得f（m）=-a成立时，f（m+3）为正数，若存在，证明你的结论，若不存在，说明理由

Answer 1

假设存在m∈R，使得f（m）=-a成立时，f（m+3）为正数
由题意得
a+b+c=0
m^2a+mb+c=-a
联立用m，a表示b，c得
b=m^2/(1-m)*a
c=-(m^2-m+1)/(1-m)*a
代入f（x）
f(x)=ax^2+m^2/(1-m)*ax-(m^2-m+1)/(1-m)*a
则
f(m+3)
=a(m+3)^2+m^2(m+3)/(1-m)*a-(m^2-m+1)/(1-m)*a
=(m+2)(3m-4)/(m-1)*a

因为a不等于0
1当a>0时，使f（m+3）>0即(m+2)(3m-4)/(m-1)*a>0即使(m+2)(3m-4)/(m-1)>0
解得-2<m<1或m>4/3
2当a<0时，使f（m+3）>0即(m+2)(3m-4)/(m-1)*a>0即使(m+2)(3m-4)/(m-1)<0
解得m<-2或1<m<4/3

所以原假设成立
当a>0时，存在-2<m<1或m>4/3，使得f（m）=-a成立时，f（m+3）为正数
当a<0时，存在m<-2或1<m<4/3，使得f（m）=-a成立时，f（m+3）为正数