Question

一个等价无穷小的证明：x趋于0时，（1+x）^(1/n)-1等价于x/n的证明过程中，，（1+x）^(1/n)-1

一个等价无穷小的证明：x趋于0时，（1+x）^(1/n)-1等价于x/n的证明过程中，（1+x）^(1/n)-1等于一个很复杂的式子，怎么得来的？

Answer 1

一般情形应该是这样的，当x→0时，有(1+x)^a-1~ax
令(1+x)^a-1=T，则(1+x)^a=T+1
两边取对数，得 aln(1+x)=ln(T+1)
因为当x→0时，有x~ln(1+x)
所以考虑
lim【x→0】[(1+x)^a-1] / ax
=lim【x→0】[(1+x)^a-1] / [aln(1+x)]
=lim【T→0】T/ln(1+T)
=1
从而有当x→0时，有(1+x)^a-1~ax，取a=1/n就是你要的结论了！
不明白可以追问，如果有帮助，请选为满意回答！

Answer 2

指数（1/n),可变为x/n*x,等价e的x/n次幂减一，再用等价无穷小。