Question

设函数f（x）满足f（1）=1，对x＞=1，有f'（x）=1／（x^2+f（x）^2）

求证：f（x）＜=1+（4／π）
是π／4！ ！！打错了！！

首先由F'(x)>0得 F(x)单调递增 所以F(x)>=1 因此0<F'(x)<=1/(x^2+1), 两边积分 有
0<F(x)-1《arctg(x)-arctg(1) 因此F(x)单调有界 ，所以lim(x→∞)F存在
且lim(x→∞)F(x)《1+lim(x→∞)(arctg(x)-π/4)=1+π/4 再说明等号不可能取到
若lim(x→∞)F(x)=π/4 即 ∫<1，∞>(F`(x)-1/(1+x^2))dx=0 而F`(x)-1/(1+x^2)>=0 且连续。可推出
F`(x)=1/(x^2+1) 得F(x)=1 矛盾！

Answer 1

lim(x→∞)F(x)=1+π/4，1+π/4是f（x）的水平渐近线。

f(1/x)=x/1-x^2

=(1/x)/(1/x^2-1)

所以

f(x)=x/(x^2-1)

函数的近代定义

是给定一个数集A，假设其中的元素为x，对A中的元素x施加对应法则f，记作f（x），得到另一数集B，假设B中的元素为y，则y与x之间的等量关系可以用y=f（x）表示，函数概念含有三个要素：定义域A、值域B和对应法则f。其中核心是对应法则f，它是函数关系的本质特征。

Answer 2

它前面 有个条件 是对于x>=1的情况下 有f'（x）=1／（x^2+f（x）^2）
是不是没有注意到条件
你那里面 很多符号没写清楚 看不是很懂 你的说明 》 这个表示什么
0<F'(x)<=1/(x^2+1)两边积分 只能得到0<F(x)<=arctg(x) 吧
0<F(x)-1《arctg(x)-arctg(1) 怎么得出的？

Answer 3

lim(x→∞)F(x)=1+π/4，1+π/4是f（x）的水平渐近线！