Question

如图，菱形OABC放在平面直角坐标系内，点A在x轴的正半轴上，

如图，菱形OABC放在平面直角坐标系内，点A在x轴的正半轴上，点B在第一象限，其坐标为（8，4）．抛物线y=ax2+bx+c过点O、A、C．
（2）将菱形向左平移，设抛物线与线段AB的交点为D，连接CD．
①当点C又在抛物线上时求点D的坐标；
②当△BCD是直角三角形时，求菱形的平移的距离

Answer 1

俊狼猎英团队为您解答

过B作BB'⊥X轴于B'，则OB'=8，BB'=4，OA=AB，
∴AB'=8-AB，在RTΔ'ABB'中，AB^2=AB'^2+BB'^2，
∴AB^2=64-16AB+AB^2+16，AB=5，
∴A(5，0)，C(3，4)，代入二次函数解析式：
0=c
0=25a+5b+c
4=9a+3b+c
解得：a=-2/3，b=10/3，c=0，
解析式为：Y=-2/3X^2+10/3X，
⑵①Y=-2/3X^2+10/3X=-2/3(X-5/2)^2+25/6，对称轴为X=5/2，
平移后C在抛物线上，纵坐标依然是4，令Y=4得：X=2，∴C'(2，4)，
即菱形向左平移了一个单位长度，∴A成为(4,0)、B成为(7，4)，
直线AB解析式：Y=4/3X-16/3，
联立方程组：
Y=-2/3X^2+10/3X，
Y=4/3X-16/3
解得：X=(3+√41)/2，Y=(2√41-10)/3，(取正)
即D( (3+√41)/2，(2√41-10)/2)
②当CD⊥AB时，过D作DD'⊥X轴于D'，则RTΔBCD∽RTΔADD'，CD=BB'=4，∴BD=3，
∴AD=2，又AD'/AD=3/5，DD'/AD=4/5，∴AD'=6/5，DD'=8/5，
令Y=8/5代入抛物线解析式：8/5=-2/3/X^2+10/3X，5X^2-25+12=0，
解得X=(25±√385)/10，
∴平移距离：5-(25±√385)/10，
即(25±√385)/2个单位长度。

Answer 2

过B作BE⊥OA于E，过C作CF⊥OA于F

由B（8，4），菱形OABC
可得AB+AE=OA+AE=8，BE=4
又因为AE2+BE2=AB2
解得AO=AB=5（2分）
∴A（5，0）
∵OC=5，CF=BE=4，
由勾股定理得OF=3．
∴C（3，4）．
所以过O、A、C三点的抛物线解析式是y=-
23x2+
103x（2分）；

（2）①当y=4时，-
23x2+
103x=4
解得x1=3（舍去），x2=2（1分）．
所以菱形向左平移了1个单位长度直线AB也向左平移了1个单位长度
原直线AB为：y=
43x-
203
则平移后的直线为y=
43(x+1)-
203=
43x-
163
此时点D的坐标为方程组的解
可得点D坐标为（3+
412，2
41-103）
（点（3-
412，-2
41-103）不合题意舍去）
②当△BCD是直角三角形时
点D到BC的距离是125，则点D的纵坐标为4-
125=
85
当y=
85时-
23x2+
103x=
85
解得x1=
25+
38510x2=
25-
38510
原直线AB：y=
43x-
203上有一点（315，85）
所以菱形移动的距离为37±
38510