Question

设m、n∈R,若直线mx+ny-1=0与x轴相较于点A,与y轴相交于点B

设m、n∈R,若直线mx+ny-1=0与x轴相较于点A,与y轴相交于点B,且L与圆x²+y²=4相交所得弦长为2，O为原点坐标，则ΔAOB面积的最小值为___________。

Answer 1

3
首先L就是直线mx+ny-1=0吧,题目好像打漏了
由直线方程得A （1/m，0) B(0，1/n）
ΔAOB面积=1/|2mn|
ΔAOB面积的平方就是1/(4m*m*n*n），（这一步为了去掉绝对值，同时方便下面利用不等式）
L与圆x²+y²=4相交所得弦长为2，作图可知L到圆心的距离应该为： 根号3(圆的半径，弦的一半，和圆心到弦的距离构成一个直角三角形）
而圆心就是远点，所以由点到直线距离公式有 1/根号(m*m+n*n)=根号3
所以m*m+n*n=1/3
m*m+n*n=1/3 ，由柯西不等式0<m*m*n*n＜1/36
所以1/(4m*m*n*n）>9 即ΔAOB面积的最小值为根号9=3（最后别忘记刚求出来的是面积的平方）
当且仅当m=n=1/6时取得最小值

Answer 2

1