Question

设V={(x,y,z),x+2y+z=0},证V是欧式空间R^3的子空间,并求V的一组标准正交基

Answer 1

首先对于任意的（x,y,z）属于V，都属于R^3（R^3=（{（x，y，z），x，y，z属于R}），这个是显然的
然后只需要证明V是一个空间即可，即要证明对于任意的（x1，y1，z1），（x2，y2，z2）属于V，有（x1+x2，y1+y2，z1+z2），(K*x1，K*y1，K*z1）都属于V，其实也就是证明在x1+2*y1+z1=0,和
x2+2*y2+z2=0与非零常数K的前提下证明（x1+x2）+2*（y1+y2）+（z1+z2）=0；
（K*x1）+2*（K*y1）+（K*z1）=0，难度不大，其实也很显然。
最后由于X+2Y+Z=0，3个未知数其中2个确定时第三个也被确定，于是V的秩为2，
随便取X，Y，Z中一个为0，然后另外一个为1，求出第三个数就可以得到V的一组基，
例如：（1，0，-1），（0，1，-2），（2，-1，0）中任意取出2个就是V的基，然后将取出的基用施密特正交化，然后再单位化，就可以得到一组标准正交基。（结果并不唯一）
当然由于V的基只为2，所以也可以先取（1，0，-1）（这个看起来比较简单），然后设另外一个基向量为（X，Y，Z），则X+2Y+Z=0；X-Z=0，求出解（1，-1，1），，将两个向量单位化，然后就可以直接给结论：V的一组标准正交基为：
个人倾向于后者，因为比较简单，计算过程可以全部在草稿纸上完成，LZ也可以直接用后者方法求出标准正交基后直接说由X+2Y+Z=0可以解得标准正交基为？，即直接给结果，而省去正交化，单位化。

Answer 2

？？？？？？？？？？？

Answer 3

这个是什么课的啊