Question

证明级数(n^2)sin(π/2^n)的敛散性 用比值或是根值判别法

Answer 1

由于 |sin(π/2^n)| ≤π/2^n。而级数 ∑(π/2^n) 收敛。据比较判别法可知。原级数绝对收敛。易判断该级数为正项级数，运用比值审敛法：即lim(n→∞) (1/n+1 - sin1/n+1)/(1/n - sin1/n)=ρ，看ρ的值的大小。

设f(x)=1/x - sin1/x (x＞0)，∵f'(x)=-1/x²+(1/x²)sin1/x，对于x＞0，恒有sin1/x＜1，∴易知f'(x)＜0在(0,+∞)上恒成立，f(x)在(0,∞)上单调递减，即易知原级数单调递减，前项大于后项，∴得ρ＜1原级数收敛。

扩展资料

敛散性：

一般用来做参照的级数最常用的是等比级数和P级数，其实，用比较判别法基本上是用P级数作为参照级数，如果用来参照的级数是等比级数，那就不必用比较判别法，而应用比值判别法了。

用比较判别法的技巧是：先判断级数一般项极限是否为零，不为零，则级数发散，若一般项极限为零，找与一般项同阶的无穷小，而且通常是P级数的一般项，从而由此P级数的敛散性确定原级数的敛散性。