Question

怎么求切线方程

Answer 1

先求出导数的表达式，再代入所求切线经过的点，得到切线的斜率，最后利用点斜式得到切线方程。

切线方程是研究切线以及切线的斜率方程，涉及几何、代数、物理向量、量子力学等内容。是关于几何图形的切线坐标向量关系的研究。分析方法有向量法和解析法。

向量法：

设圆上一点A为(x0,y0),则该点与圆心O的向量OA(x0-a,y0-b)，因为过该点的切线与该方向半径垂直，则有切线方向上的单位向量与向量OA的点积为0。

设直线上任意点B为(x,y)，则对于直线方向上的向量AB(x-x0,y-y0)，有向量AB与OA的点积。

AB●OA=(x-x0)(x0-a)+(y0-b)(y-y0)

=(x-a+a-x0)(x0-a)+(y0-b)(y-b+b-y0)

=(x-a)(x0-a)+(y-b)(y0-b)-(x0-a)^2-(y0-b)^2=0

故有(x-a)(x0-a)+(y-b)(y0-b)=(x0-a)^2+(y0-b)^2=r^2

分析-解析法：

设圆上一点A为(x0,y0),则有：（x0-a)^2+(y0-b)^2=r^2

对隐函数求导，则有:

2(x0-a)dx+2(y0-b)dy=0，dy/dx=(a-x0)/(y0-b)=k。(隐函数求导法亦可证明椭圆的切线方程，方法相同)

或直接k1=(y0-b)/(x0-a); k*k1=-1;(k1为与切线垂直的半径斜率。)

得k=(a-x0)/(y0-b) (以上处理是假设斜率存在，在后面讨论斜率不存在的情况)

所以切线方程可写为:y=(a-x0)/(y0-b)x+B。

将点(x0,y0),可求出B=(x0-a)x0/(y0-b)+y0。

所以：y(y0-b)+(x0-a)x=(x0-a)x0+(y0-b)y0。

(y0-b)(y-b+b-y0)+(x0-a)(x-a+a-x0)=0。

(y0-b)(y-b)+(x0-a)(x-a)=(x0-a)^2+(y0-b)^2。

(y0-b)(y-b)+(x0-a)(x-a)=R^2。

当斜率不存在时，切点为与x轴平行的直线过圆心与圆的交点。

此类切点有2个，不妨设为M(a-r,b);N(a+r,b)

(y0-b)(y-b)+(x0-a)(x-a)=r^2

将2点带入上式，亦成立。故得证。