高中数学，导数，如图 20
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(I),(II)较简单（略）
（III)n=1===>f(x)=m-1/x-lnx , 根据题意，有
m=1/x1+lnx1=1/x2+lnx2===>ln(x2/x1)=1/x1-1/x2=(x2-x1)/(x1x2) ,
设t=x2/x1, x2>x1>0===>t>1,x2=tx1
所以 lnt=(t-1)/x2===>x2=(t-1)/lnt
x1+x2=x2/t+x2=(1+1/t)x2=(t^2-1)/(tlnt) (t>1) ,原不等式等价转化为：(t^2-1)/(tlnt)>2
(t>1)<==> t^2-2tlnt-1>0(t>1), 设函数g(t)=t^2-2tlnt-1(t>1),则g'(t)=2t-2(lnt+1)=2(t-lnt-1)
再设 h(t)=t-lnt-1(t>1), 那么 h'(t)=1-1/t=(t-1)/t>0 ,h(t)在 【1，+无穷)单调递增，h(1)=0
所以 h(t)>0 ,即 g'(t)>0 , 函数g(t)在[1,+无穷）单调递增，又 g(1)=0
所以 当t>1时，g(t)>0.===> t^2-2tlnt-1>0(t>1).
x1+x2>2.得证
（III)n=1===>f(x)=m-1/x-lnx , 根据题意，有
m=1/x1+lnx1=1/x2+lnx2===>ln(x2/x1)=1/x1-1/x2=(x2-x1)/(x1x2) ,
设t=x2/x1, x2>x1>0===>t>1,x2=tx1
所以 lnt=(t-1)/x2===>x2=(t-1)/lnt
x1+x2=x2/t+x2=(1+1/t)x2=(t^2-1)/(tlnt) (t>1) ,原不等式等价转化为：(t^2-1)/(tlnt)>2
(t>1)<==> t^2-2tlnt-1>0(t>1), 设函数g(t)=t^2-2tlnt-1(t>1),则g'(t)=2t-2(lnt+1)=2(t-lnt-1)
再设 h(t)=t-lnt-1(t>1), 那么 h'(t)=1-1/t=(t-1)/t>0 ,h(t)在 【1，+无穷)单调递增，h(1)=0
所以 h(t)>0 ,即 g'(t)>0 , 函数g(t)在[1,+无穷）单调递增，又 g(1)=0
所以 当t>1时，g(t)>0.===> t^2-2tlnt-1>0(t>1).
x1+x2>2.得证
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