Question

已知圆o:x^2+y^2=4和点M(1,a2)，若a=√2,过点M的圆的两条弦AC,BD互相垂直则/AC/+/BD/最大值

详解谢谢！

Answer 1

MO=√5,圆O的半径是2
过点O作OE⊥AC于点E,,作OF⊥BD于点F
则AE=CE=x,BF=DF=y,四边形AEOF是矩形,
有EM^2+OE^2=OM^2
EA^2+OE^2=OA^2
OD^2+BF^2=OB^2
而OE=MF,OF=ME
所以4-y^2+4-x^2=(√5)^2
x^2+y^2=3
所以（x+y)最大值是√6
则/AC/+/BD/最大值2√6

Answer 2

为简化计算，把M(1,√2）绕O旋转至N(0，√3），
设AC:kx-y+√3=0，则
BD:x+k(y-√3）=0，
O到AC的距离d1=（√3）/√（k^2+1),
O到BD的距离d2=|k√3|/√（k^2+1),
d1^2+d2^2=3,
(d1d2)^2<=(3/2)^2,
AC=2√（4-d1^2),
BD=2√（4-d2^2),,
设w=AC+BD，
则(w/2)^2=8-（d1^2+d2^2)+2√[(4-d1^2)(4-d2^2)]
=5+2√[16-4(d1^2+d2^2)+(d1d2)^2]
<=5+2√[16-4*3+9/4]=5+5=10,
∴w/2<=√10，
w<=2√10，当d1=d2=√(3/2)时取等号，
∴AC+BD的最大值是2√10.
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