Question

数学课外兴趣小组活动时,老师提出了如下问题，如图，若AB=5，AC=3，快点啊

阅读理解：
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图1，△ABC中，若AB=5，AC=3，求BC边上的中线AD的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使得DE=AD，再连接BE（或将△ACD绕点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形的三边关系可得2＜AE＜8，则1＜AD＜4．
感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．
（1）问题解决：
受到（1）的启发，请你证明下面命题：如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．
①求证：BE+CF＞EF；
②若∠A=90°，探索线段BE、CF、EF之间的等量关系，并加以证明；
（2）问题拓展：
如图3，在四边形ABDC中，∠B+∠C=180°，DB=DC，∠BDC=120°，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC于E、F两点，连接EF，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明．

Answer 1

俊狼猎英团队为您解答

 

解：①延长FD到G，使得DG=DF，连接BG、EG．（或把△CFD绕点D逆时针旋转180°得到△BGD），

  ∴CF=BG，DF=DG，

∵DE⊥DF，

∴EF=EG．

在△BEG中，BE+BG＞EG，即BE+CF＞EF

②若∠A=90°，则∠EBC+∠FCB=90°，

由①知∠FCD=∠DBG，EF=EG，

∴∠EBC+∠DBG=90°，即∠EBG=90°，

∴在Rt△EBG中，BE²+BG²=EG²，

∴BE²+CF²=EF²

（2）将△DCF绕点D逆时针旋转120°得到△DBG．

 ∵∠C+∠ABD=180°，∠4=∠C，

∴∠4+∠ABD=180°，

∴点E、B、G在同一直线上．

∵∠3=∠1，∠BDC=120°，∠EDF=60°，

∴∠1+∠2=60°，故∠2+∠3=60°，即∠EDG=60°

∴∠EDF=∠EDG=60°，

∵DE=DE，DF=DG，

∴△DEG≌△DEF，

∴EF=EG=BE+BG，即EF=BE+CF 

Answer 2

用极端分析法，也可轻易得出结论。

Answer 3

好复杂

追问

==我已经会了。。。

Answer 4

wawa