Question

两道概率论问题！设ξ是一个取非负值的连续型随机变量,如果对任意的x,y≥0, P{ξ>x+y}=P{ξ>x}P{ξ>y}

1、

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2、





Answer 1

FY(y)=P{Y<=y}
对于任何0到1之间的y，我们可以把y写做(An/2^n)，An是常数0或1，所以P(Σ(Xn/2^n)<=y)=P(Σ(Xn/2^n)<=Σ(An/2^n))=P(X1<A1)+P(X1=A1,X2<A2)+P(X1=A1,X2=A2,X3<A3)+……=P(X1<A1)+P(X1=A1)*P(X2<A2)+P(X1=A1)*P(X2=A2)*P(X3<A3)+……=A1/2+1/2*A2/2+1/2*1/2*A3/2+……=Σ(An/2^n)=u，所以Σ(Xn/2^n)服从U（0，1）。
P(X1<A1)=A1/2是因为A1只能是0或1，如果A1=0，P(X1<0)=0，如果A1=1，P(X1<1)=P(X1=0)=1/2，A2, A3也是一样。
以上是引用某大神的答案。
2.设ζ=Z,分布函数为F(z)
P{Z>x+y}=P{Z>x}P{Z>y},该分布符合指数分布的无记忆性。假设F(z)=1-e(-λz)
1-F(x+y)=（1-F(x）)（1-F(y)）
代入分布函数，对于任意x,y都成立，假设成立。
所以是指数分布。

追问

"对于任何0到1之间的y，我们可以把y写做(An/2^n)，An是常数0或1"
这个定理（可以说定理吧）出自哪里呢？

追答

把我问住了。我都没考虑过这个问题，只知道这来自于十进制小数转二进制。
0到1之间的数，相当于十进制小数
An/2^n是二进制小数的权，基是1或者0，基权乘积取和正好符合转换条件。

Answer 2

指数分布、参数1